Gyakorlatok

Tartalom jegyzék

1. hét (szept. 5.)

Megnyitás

Csütörtök

Vizsgáljuk meg, hogy vektortér-e.

$_{\mathbf{Z}}\mathbf{Z}$

$_{\mathbf{R}}\mathbf{C}$

$_{\mathbf{C}}\mathbf{R}$

Legyen \[ V:=\{ (1,a)\,|\,a\in\mathbf{R}\}, \] és definiáljuk \begin{align*} (1,a)+(1,b) &:=(1,a+b),\\ \alpha(1,a) &:=(1,\alpha a). \end{align*} Altér-e $\mathbf{R}^2$-ben?

Lineárisan függetlenek-e az $e^x$ és $e^{-2x}$ függvények?

Lineárisan független rendszer-e \[\{\sin(x),\sin(2x),\ldots,\sin(kx)\}?\]

Igazoljuk, hogy \[ \text{span}\{ 1,x,x^2,\ldots,x^n\}=\text{span}\{ 1,x-1,(x-1)^2,\ldots,(x-1)^n\}. \]

Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert. \begin{align*} x+ 2y+ z &=4\\ 3x+ 8y+ 7z &=20\\ 2x+ 7y+ 9z &=23. \end{align*} Megoldás.

Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert. \begin{align*} 3x- 8y+ 10z &=22\\ x- 3y+ 2z &=5\\ 2x- 9y- 8z &=-11. \end{align*} Megoldás.

2. hét (szept. 12.)

Megnyitás

Csütörtök

Keressünk olyan legfeljebb $3$-ad fokú polinomot \[ p(x)=A+Bx+Cx^2+Dx^3 \] amely illeszkedik a $(-1,4),(1,2),(2,1)$ és $(3,16)$ pontokra.
Megoldás.

Keressük meg annak a körnek az egyenletét, amely illeszkedik a $(-1,5),(5,-3)$ és $(6,4)$ pontokra.
Megoldás.

Az \begin{align*} x_1'(t) &=5x_1(t)-6x_2(t)\\ x_2'(t) &=2x_1(t)-2x_2(t) \end{align*} $x_1(0)=1,x_2(0)=-1\,$ kezdeti érték probléma általános megoldása \begin{align*} x_1(t) &=2c_1e^{2t}+3c_2e^t\\ x_2(t) &=c_1e^{2t}+2c_2e^t. \end{align*} Határozzuk meg a kezdeti érték probléma megoldását.
Megoldás.

Keressük meg az \[ y''(x)-3y'(x)+2y(x)=e^{3x}+x^2+x \] differenciálegyenlet \[ y(x)=Ae^{3x}+Bx^2+Cx+D \] alakú megoldását.
Megoldás.

3. hét (szept. 19.)

Megnyitás

Csütörtök

Ha $X,Y$ véges dimenziós vektorterek, akkor \[ \dim L(X,Y)=\dim X\,\cdot\,\dim Y. \]

Határozzuk meg az alábbi mátrix redukált sorlépcsős alakját, \[ \left[ \begin{array}{rrrr} 1 &3 &-15 &7\\ 1 &4 &-19 &10\\ 2 &5 &-26 &11 \end{array} \right]. \]
Eredmény.

Legyen $P_n$ a legfeljebb $n$-ed fokú polinomok vektortere a standard bázissal. Határozzuk meg a $D:P_n\longrightarrow P_{n-1}$ derivált operátor mátrixát.

Határozzuk meg az $A$ mátrix inverzét elemi sortranszformációk felhasználásával, \[ A= \left[ \begin{array}{rrr} 4 &3 &2\\ 5 &6 &3\\ 3 &5 &2 \end{array} \right]. \]
Eredmény.

Legyen \[ C:=\left\{ A:= \left[ \begin{array}{rr} a &-b\\ b &a \end{array} \right] \,\middle|\,a,b\in\mathbf{R} \right\}. \] Jelölje \[ \text{Re}:=\left[ \begin{array}{rr} 1 &0\\ 0 &1 \end{array} \right] \qquad \text{Im}:=\left[ \begin{array}{rr} 0 &-1\\ 1 &0 \end{array} \right]. \] Igazoljuk, hogy $C$ $2$-dimenziós altér $M_2(\mathbf{R})$-ben, és az \[ \left[ \begin{array}{rr} a &-b\\ b &a \end{array} \right] =a\,\text{Re}+b\,\text{Im} \longrightarrow a+ib \] megfeleltetés lineáris, kölcsönösen egyértelmű és szorzattartó.

Legyen $A=[a_{i,j}]_{i,j=1,n}$. Jelölje \[ \text{Tr}(A):=\sum_{i=1}^n a_{i,i} \] az $A$ mátrix nyomát. Igazoljuk, hogy \[ \text{Tr}(AB)=\text{Tr}(BA). \]

4. hét (szept. 26.)

Megnyitás

Csütörtök

(Pauli mátrixok) Legyen \[ \sigma_1:= \left[ \begin{array}{rr} 0& 1\\ 1&0 \end{array} \right], \quad \sigma_2:= \left[ \begin{array}{rr} 0&-i\\ i&0 \end{array} \right], \quad \sigma_3:= \left[ \begin{array}{rr} 1&0\\ 0&-1 \end{array} \right]. \] Igazoljuk, hogy
1) \[ \sigma_1^2,\,\sigma_2^2,\,\sigma_3^2,\,-i\sigma_1\sigma_2\sigma_3= \left[ \begin{array}{rr} 1&0\\ 0&1 \end{array} \right] =I_2. \] 2) Ha $A,B$ lineáris leképezések (mátrixok), jelölje \[ [A,B]:=AB-BA \] az $A$ és $B$ kommutátorát. Ekkor igazak a következők \[ [\sigma_1,\sigma_2]=2i\sigma_3,\quad [\sigma_2,\sigma_3]=2i\sigma_1,\quad [\sigma_3,\sigma_1]=2i\sigma_2. \] 3) $\left\{ I_2,\,\sigma_1,\,\sigma_2,\,\sigma_3\right\}$ bázis $M_2(\mathbf{C})$-ben.

A kifejtési tétel nélkül mutassuk meg, hogy az alábbi determinánsok értéke $0$. \[ \left| \begin{array}{ccc} 1& 1&1 \\ \frac{1}{a}&\frac{1}{b}&\frac{1}{c}\\ bc &ac &ab \end{array} \right|, \quad \left| \begin{array}{ccc} 1& 1&1 \\ a&b&c\\ b+c &a+c &a+b \end{array} \right|. \]

Keressük meg annak a körnek az egyenletét, amely illeszkedik a $(-1,5),(5,-3)$ és $(6,4)$ pontokra.
Megoldás.

Igazoljuk, hogy \[ \det(V(x_1,x_2,\ldots,x_n))=\left| \begin{array}{ccccc} 1& x_1&x_1^2 &\ldots &x_1^{n-1} \\ 1& x_2&x_2^2 &\ldots &x_2^{n-1} \\ \vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\ 1& x_n&x_n^2 &\ldots &x_n^{n-1} \\ \end{array} \right|=\prod_{\substack{ i,j=1 \\ i>j }}^n (x_i-x_j). \]

5. hét (okt. 3.)

Megnyitás

Csütörtök

ELMARAD (Schönherz Qpa)

6. hét (okt. 10.)

Megnyitás

Csütörtök

Legyen $f_k\in C^{(n-1)}(I)$ $(k=1,\ldots,n)$. Jelölje \[ W(f_1,f_2,\ldots,f_n):=\left[ \begin{array}{cccc} f_1& f_2&\ldots &f_n \\ f_1'& f_2'&\ldots &f_n' \\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\ f_1^{(n-1)}& f_2^{(n-1)}&\ldots &f_n^{(n-1)} \\ \end{array} \right] \] az adott függvények Wronski-mátrixát, a belőle képzett determináns a Wronski-determináns. Ekkor igaz a következő:

Tétel. Ha az $I$-n $\det(W)\neq 0$ $\Longrightarrow$ $f_1,\ldots,f_n$ lineárisan függetlenek $I$-n.
Megjegyzés. A tétel megfordítása nem igaz, például legyen $I:=(-\infty,\infty)$, $f_1(x):=x^3$, $f_2(x):=|x|^3$. Ekkor $f_1,f_2$ lineárisan függetlenek $(-\infty,\infty)$-en, de $\det(W)\equiv 0$.

Ezt felhasználva igazoljuk, hogy ha $\lambda_k\in\mathbf{R}$ $(k=1,\ldots,n)$, $\lambda_k\neq\lambda_j$ $(k\neq j)$, akkor az \[ e^{\lambda_1 x},\ldots,e^{\lambda_n x} \] függvények lineárisan függetlenek.

(Pauli mátrixok, folytatás) Legyen \[ \sigma_1:= \left[ \begin{array}{rr} 0& 1\\ 1&0 \end{array} \right], \quad \sigma_2:= \left[ \begin{array}{rr} 0&-i\\ i&0 \end{array} \right], \quad \sigma_3:= \left[ \begin{array}{rr} 1&0\\ 0&-1 \end{array} \right]. \] Határozzuk meg a sajátértékeiket és a megfelelő sajátvektoraikat.
Eredmény.

A determináns kifejtése nélkül igazoljuk, hogy \[ \left| \begin{array}{rrrr} a^2& (a+1)^2& (a+2)^2& (a+3)^2\\ b^2& (b+1)^2& (b+2)^2& (b+3)^2\\ c^2& (c+1)^2& (c+2)^2& (c+3)^2\\ d^2& (d+1)^2& (d+2)^2& (d+3)^2 \end{array} \right|=0. \]

Ha $A$ sajátértékei $\lambda_i$ és a megfelelő sajátvektorok $\mathbf{s}_i$, akkor
1) $A-cI$ sajátértékei $\lambda_i-c$ és a megfelelő sajátvektorok $\mathbf{s}_i$.
2) $cA$ sajátértékei $c\lambda_i$ és a megfelelő sajátvektorok $\mathbf{s}_i$.
3) $A^m$ $(m=1,2,\ldots,)$ sajátértékei $\lambda_i^m$ és a megfelelő sajátvektorok $\mathbf{s}_i$.
4) Legyen \[ p(A):=c_mA^m+c_{m-1}A^{m-1}+\ldots+c_1A+c_0I. \] Ekkor $p(A)$ sajátértékei \[ p(\lambda_i):=c_m \lambda_i^m+c_{m-1}\lambda_i^{m-1}+\ldots+c_1\lambda_i+c_0. \] és a megfelelő sajátvektorok $\mathbf{s}_i$.

7. hét (okt. 17.)

Megnyitás

Csütörtök

Igazoljuk, hogy tetszőleges $A\in L(X,X)$ ($X$ valós vektortér) operátor egyértelműen felírható egy szimmetrikus és egy antiszimmetrikus operátor összegeként.

Megoldás. Legyen \begin{equation}\label{eq:A} A=B+C, \end{equation} ahol \[ B=B^T,\qquad C=-C^T. \] Ekkor \begin{equation}\label{eq:AT} A^T=B^T+C^T=B-C. \end{equation} Az \eqref{eq:A} és \eqref{eq:AT} egyenletekből kapjuk \[ B=\frac{A+A^T}{2}\quad\text{és}\quad C=\frac{A-A^T}{2}.\quad\blacksquare \]

Legyen $X$ véges dimenziós vektortér, $A,B\in L(X,X)$. Definiáljuk az $L(X,X)$ vektortéren a Hilbert-Schmidt skaláris szorzatot a következő módon \[ \left\langle A,B\right\rangle_{_{\!HS}}:=\text{Tr}(AB^*). \] Igazoljuk, hogy valóban skaláris szorzatot kapunk. Mivel egyenlő $\left\Vert A\right\Vert_{_{HS}}$?

(Pauli mátrixok, folytatás) Legyen \[ \sigma_1:=\frac{1}{\sqrt{2}} \left[ \begin{array}{rr} 0& 1\\ 1&0 \end{array} \right], \quad \sigma_2:=\frac{1}{\sqrt{2}} \left[ \begin{array}{rr} 0&-i\\ i&0 \end{array} \right], \quad \sigma_3:=\frac{1}{\sqrt{2}} \left[ \begin{array}{rr} 1&0\\ 0&-1 \end{array} \right]. \]
Igazoljuk, hogy $\{\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3\}$ ortonormált rendszer a Hilbert-Schmidt skaláris szorzatra nézve.

Igazoljuk, hogy a \[ \{1,\sin(kx),\cos(kx)\}_{k=1,\ldots,\infty} \] függvényrendszer lineárisan független a $[-\pi,\pi]$ intervallumon.

Legyen $(X,\langle \cdot,\cdot\rangle)$ valós euklideszi tér, $A\in L(X,X)$ szimmetrikus leképezés. Tegyük fel, hogy $\langle \mathbf{x},A\mathbf{x}\rangle>0$ ha $\mathbf{x}\neq\mathbf{0}$. Igazoljuk, hogy \[ \langle \mathbf{x},\mathbf{y}\rangle_{_{\!A}}:=\langle \mathbf{x},A\mathbf{y}\rangle \] skaláris szorzat.

X

1.hét 5.feladat

Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert. \begin{align*} x+ 2y+ z &=4\\ 3x+ 8y+ 7z &=20\\ 2x+ 7y+ 9z &=23. \end{align*}

Megoldás.

$(-3)S_1+S_2$. \begin{align*} x +2y +z &=4\\ 2y +4z &=8\\ 2x +7y +9z &=23. \end{align*} $(-2)S_1+S_2$. \begin{align*} x +2y +z &=4\\ 2y +4z &=8\\ 3y +7z &=15. \end{align*} $\left(\frac{1}{2}\right)S_2$. \begin{align*} x +2y +z &=4\\ y +2z &=4\\ 3y +7z &=15. \end{align*} $(-3)S_2+S_3$. \begin{align*} x +2y +z &=4\\ y +2z &=4\\ z &=3. \end{align*} Visszahelyettesítve, kapjuk $y=-2$, majd $x=5$. Tehát az egyenletrendszer megoldása $x=5, y=-2, z=3$.$\quad$ $\blacksquare$

X

1.hét 6.feladat

Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert. \begin{align*} 3x- 8y+ 10z &=22\\ x- 3y+ 2z &=5\\ 2x- 9y- 8z &=-11. \end{align*}

Megoldás.

$S_1\leftrightarrow S_2$. \begin{align*} x- 3y+ 2z &=5\\ 3x- 8y+ 10z &=22\\ 2x- 9y- 8z &=-11. \end{align*} $(-3)S_1+S_2$. \begin{align*} x- 3y+ 2z &=5\\ y+ 4z &=7\\ 2x- 9y- 8z &=-11. \end{align*} $(-2)S_1+S_3$. \begin{align*} x- 3y+ 2z &=5\\ y+ 4z &=7\\ -3y- 12z &=-21. \end{align*} $3S_2+S_3$. \begin{align*} x- 3y+ 2z &=5\\ y+ 4z &=7\\ 0&=0. \end{align*} Itt $z$ tetszőleges lehet (szabad változó). $z=t$. Visszahelyettesítve, kapjuk $y=7-4t$, $x=26-14t$. Tehát az egyenletrendszer megoldása $x=26-14t$, $y=7-4t$, $z=t$, ahol $t\in\mathbf{R}$ tetszőleges.$\quad$ $\blacksquare$

X

2.hét 1.feladat

Keressünk olyan legfeljebb $3$-ad fokú polinomot \[ p(x)=A+Bx+Cx^2+Dx^3 \] amely illeszkedik a $(-1,4),(1,2),(2,1)$ és $(3,16)$ pontokra.

Megoldás.

Behelyettesítve az adott pontok koordinátáit, az alábbi egyenlet rendszert kapjuk. \begin{align*} A-B+C-D &=4\\ A+B+C+d &=2\\ A+2B+4C+8D &=1\\ A+3B+9C+27D &=16. \end{align*} Elemi sortranszformációk segítségével az alábbi ú.n. "lépcsős alakra" hozhatjuk \begin{align*} A-B+C-D &=4\\ B+D &=-1\\ C+2D &=0\\ D &=2. \end{align*} Visszahelyettesítve kapjuk $D=2,C=-4,B=-3$ és $A=7$. Tehát a keresett polinom \[ p(x)=7-3x-4x^2+2x^2. \quad \blacksquare \]

X

2.hét 2.feladat

Keressük meg annak a körnek az egyenletét, amely illeszkedik a $(-1,5),(5,-3)$ és $(6,4)$ pontokra.

Megoldás.

A keresett kör egyenlete \[ x^2+y^2+Ax+By+C=0. \] alakú. Behelyettesítve az adott pontok koordinátáit, az alábbi egyenlet rendszert kapjuk. \begin{align*} -A+5B+C &=-26\\ 5A-3B+C &=-34\\ 6A+4B+C &=-52. \end{align*} Lépcsős alakra redukálva kapjuk $C=-20, B=-2$ és $A=-4$. Tehát a kör egyenlete \[ x^2+y^2-4x-2y-20=0, \] azaz, \[ (x-2)^2+(y-1)^2=25. \quad \blacksquare \]

X

2.hét 3.feladat

Az \begin{align*} x_1'(t) &=5x_1(t)-6x_2(t)\\ x_2'(t) &=2x_1(t)-2x_2(t) \end{align*} $x_1(0)=1,x_2(0)=-1\,$ kezdeti érték probléma általános megoldása \begin{align*} x_1(t) &=2c_1e^{2t}+3c_2e^t\\ x_2(t) &=c_1e^{2t}+2c_2e^t. \end{align*} Határozzuk meg a kezdeti érték probléma megoldását.

Megoldás.

A kezdeti feltételeket behelyettesítve az alábbi egyenlet rendszert kapjuk \begin{align*} 2c_1+3c_2 &=1\\ c_1+2c_2 &=-1, \end{align*} melyből $c_1=5,c_2=-3$. Tehát \begin{align*} x_1(t) &=10e^{2t}-9e^t\\ x_2(t) &=5e^{2t}-6e^t. \quad \blacksquare \end{align*}

X

2.hét 4.feladat

Keressük meg az \[ y''(x)-3y'(x)+2y(x)=e^{3x}+x^2+x \] differenciálegyenlet \[ y(x)=Ae^{3x}+Bx^2+Cx+D \] alakú megoldását.

Megoldás.

Behelyettesítve az inhomogén egyenletbe \[ (9A-9A+2A)e^{3x}+x^2(2B)+x(2C-6B)+(2D-3C+2B)=e^{3x}+x^2+x. \] Ebből az alábbi egyenletrendszert kapjuk \begin{align*} 2A &=1\\ 2B &=1\\ 2C-6B &=1\\ 2D-3C+2B &=0. \end{align*} Ebből kapjuk $A=1/2, B=1/2, C=2, D=5/2$. Tehát \[ y(x)=\frac{1}{2}x^2+2x+\frac{5}{2}+\frac{1}{2}e^{3x}. \quad \blacksquare \]

X

3.hét 2.feladat

Határozzuk meg az alábbi mátrix redukált sorlépcsős alakját, \[ \left[ \begin{array}{rrrr} 1 &3 &-15 &7\\ 1 &4 &-19 &10\\ 2 &5 &-26 &11 \end{array} \right]. \]

Eredmény.

\[ \left[ \begin{array}{rrr} 1 &0 &-3 &-2\\ 0 &1 &-4 &3 \\ 0 &0 &0 &0 \end{array} \right]. \]

X

3.hét 4.feladat

Határozzuk meg az $A$ mátrix inverzét elemi sortranszformációk felhasználásával, \[ A= \left[ \begin{array}{rrr} 4 &3 &2\\ 5 &6 &3\\ 3 &5 &2 \end{array} \right]. \]

Eredmény.

\[ \left[ \begin{array}{rrr} 3 &-4 &3\\ 1 &-2 &2 \\ -7 &11 &-9 \end{array} \right]. \]

X

4.hét 3.feladat

Keressük meg annak a körnek az egyenletét, amely illeszkedik a $(-1,5),(5,-3)$ és $(6,4)$ pontokra.

Megoldás.

\[ \left| \begin{array}{cccc} x^2+y^2 &x &y &1\\ 26 &-1 &5 &1 \\ 34 &5 &-3 &1\\ 52 &6 &4 &1 \end{array} \right|=0. \] A determinánst az első sora szerint kifejtve kapjuk \[ x^2+y^2-4x-2y-20=0, \] azaz, \[ (x-2)^2+(y-1)^2=25. \quad \blacksquare \]

X

4.hét 4.feladat

Igazoljuk, hogy \[ \det(V(x_1,x_2,\ldots,x_n))=\left| \begin{array}{ccccc} 1& x_1&x_1^2 &\ldots &x_1^{n-1} \\ 1& x_2&x_2^2 &\ldots &x_2^{n-1} \\ \vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\ 1& x_n&x_n^2 &\ldots &x_n^{n-1} \\ \end{array} \right|=\prod_{\substack{ i,j=1 \\ i>j }}^n (x_i-x_j). \]

Megoldás.

X

6.hét 2.feladat

(Pauli mátrixok, folytatás) Legyen \[ \sigma_1:= \left[ \begin{array}{rr} 0& 1\\ 1&0 \end{array} \right], \quad \sigma_2:= \left[ \begin{array}{rr} 0&-i\\ i&0 \end{array} \right], \quad \sigma_3:= \left[ \begin{array}{rr} 1&0\\ 0&-1 \end{array} \right]. \] Határozzuk meg a sajátértékeiket és a megfelelő sajátvektoraikat.

Eredmény.

\[ \begin{array}{lll} \sigma_1:\quad &\lambda_1=1,\quad &\hat{\mathbf{s}}_1= \dfrac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{r}1\\1 \end{array}\right],\\ &\lambda_2=-1,\quad &\hat{\mathbf{s}}_2= \dfrac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{r}1\\-1 \end{array}\right],\\ \sigma_2:\quad &\lambda_1=1,\quad &\hat{\mathbf{s}}_1= \dfrac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{r}1\\i \end{array}\right],\\ &\lambda_2=-1,\quad &\hat{\mathbf{s}}_2= \dfrac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{r}1\\-i \end{array}\right],\\ \sigma_3:\quad &\lambda_1=1,\quad &\hat{\mathbf{s}}_1= \left[\begin{array}{r}1\\0 \end{array}\right],\\ &\lambda_2=-1,\quad &\hat{\mathbf{s}}_2= \left[\begin{array}{r}0\\1 \end{array}\right].\quad\blacksquare \end{array} \]